6 grado "MÚLTIPLOS Y DIVISORES"

3.MÚLTIPLOS Y DIVISORES 

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO 
Los múltiplos de un número son los que lo contienen un número exacto de veces.
El 12 es múltiplo de 3 porque lo contiene 4 veces.
El 30 es múltiplo de 5 porque lo contiene 6 veces.
Los múltiplos de un número se calculan multiplicando este número por los números
naturales ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 .......}
Los múltiplos de un número son infinitos.
Múltiplos de 2={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 ..........}
Múltiplos de 3={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 ........}
Múltiplos de 11={0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132 ....}

MÚLTIPLOS COMUNES A VARIOS NÚMEROS 
Calculados los conjuntos de los múltiplos de dos o más números siempre podemos
encontrar múltiplos comunes.
M (3) ={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60 ...}
M (4) ={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 42, 44, 48, 52, 56, 60, 64, ....}
M (8) ={0, 8, 16, 24, 32, 40, 44, 48, 56, 64, 72, 80, 88 .....}
Múltiplos comunes de 3 y 4 ={0,12, 24, 36, 48, 60 ...}
Múltiplos comunes de 3 , 4 y 8 ={0, 24, 48.....}
Mínimo común múltiplo de varios números (m.c.m.).- Se llama así al menor de los
múltiplos comunes de dichos números excluido el cero.
m.c.m.(3, 4) = 12
m.c.m.(2, 4, 8)= 24

DIVISORES DE UN NÚMERO 
Divisor de un número es aquel que está contenido en él un número exacto de veces. Al
dividir un número por sus divisores el resto es cero.
El 5 es divisor de 15 porque lo contiene tres veces. 15 : 5 = 3 y resto 0.
Observa la relación: 5 es divisor de 15 <=> 15 es múltiplo de 5
Un número es divisible por otro cuando lo contiene un número exacto de veces. Un
número es divisible por todos sus divisores.
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

DIVISORES COMUNES A VARIOS NÚMEROS

Un número es divisor común de dos o más números si es divisor de todos ellos.
D (12) = {1, 2, 3, 4, 12}     Divisores comunes de 12 y 15 = {1, 3}
D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}             Divisores comunes de 18 y 24 = {1, 2, 3, 6}
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores
comunes.
m.c.d. (12, 15) = 3
m.c.d. (18, 24) = 6

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS 
Números primos son aquellos que sólo son divisibles por sí mismo y por la unidad. Es
decir, sólo tienen por divisores a sí mismo y a la unidad.
Números compuestos son los que además de ser divisibles por sí mismos y por la
unidad tienen otros divisores.
Números primos = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 .......}

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 
Nos permiten saber de un modo sencillo cuando un número es divisible por otro.

Número	CRITERIO
2	Un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 o cifra par
3	Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras da tres o múltiplo de 3.
4	Un número es divisible por 4 cuando lo es el número formado por sus dos Últimas cifras.
5	Un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 ó en 5.
6	Un número es divisible por 6 cundo es divisible por 2 y por 3.
8	Un número es divisible por 8 cuando lo es el número formado por sus tres últimas cifras
9	Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras da nueve o múltiplo de 9.
10	Un número es divisible por 10 cuando acaba en 0.

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE 

FACTORES PRIMOS. 

Para descomponer un número en un producto de factores primos se procede según el 

ejemplo en el que vamos a descomponer paso a paso el número 60. 

60/ 2  30	60/ 2 30 /2  15	60/ 2 30 /2 15 /3  5	60/ 2  30 /2 15/ 3  5/ 5  1
Comprobamos si 60 es divisible por el primer nº primo (2) y dividimos	Comprobamos si el cociente anterior obtenido, 30 es divisible por 2 y dividimos	Comprobamos si 15 es divisible por 2, como no lo es lo hacemos con el Siguiente nº primo el 3 y dividimos.	Por último, el resto obtenido (5) lo dividimos por el nº primo que se puede dividir, el mismo 5.

m.c.d. y m.c.m. A PARTIR DE LA DESCOMPOSICIÓN EN PRODUCTO 

DE FACTORES PRIMOS 

Para calcular el m.c.d. de dos o más números los descomponemos en su producto de 

factores primos y tomamos los factores comunes con el menor exponente. 

Para calcular el m.c.m. de dos o más números los descomponemos en su producto de 

factores primos y tomamos los factores comunes y no comunes con el mayor 

exponente. 

Utilizando las descomposiciones factoriales anteriores, observa:

m.c.d. (12, 50) 12 = 2^2x3 50 = 2x5^2 m.c.d. (12, 50) = 2

m.c.m (12, 50) 12 = 2^2x3 50 = 2x5^2 m.c.m (12, 50) = 2^2 x 3 x 5^2 = 300

m.c.d. (60, 50) 60 = 2^2x3x5 50 = 2x5^2 m.c.d. (60, 50) = 2 x 5 = 10

m.c.m. (60, 50) 60 = 2^2x3x5 50 = 2x5^2 m.c.d. (60, 50) = 2^2 x 3 x 5^2= 300